2009级高考二轮复习填空题专题
（一）方法总结
1. 能够多角度思考问题，灵活选择方法，是快速准确地解数学填空题的关键。
2．数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。
3. 解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求.
（二）2009年高考预测
1. 继续出现创新能力题；
2．应用问题应用可能前移，在填空题中加大考查应用能力
★ 考点回顾
填空题就是不要求写出计算或推理过程，只需将结论直接写出的“求解题”，它的主要作用是考查考生的基础知识，基本技巧以及分析问题、解决问题的能力，高考试卷中16分．它和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点：其形态短小精悍、跨度大、知识覆盖面广、考查目标集中，形式灵活，答案简短、明确、具体，评分客观、公正、准确等。
★ 数学填空题的特点
填空题缺少选择支的信息，故解答题的求解思路可以原封不动地移植到填空题上。但填空题既不用说明理由，又无须书写过程，因而解选择题的有关策略、方法有时也适合于填空题。
填空题大多能在课本中找到原型和背景，故可以化归为我们熟知的题目或基本题型。填空题不需过程，不设中间分，更易失分，因而在解答过程中应力求准确无误。
填空题题小,跨度大,覆盖面广,形式灵活,可以有目的、和谐地结合一些问题，突出训练学生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力和基本运算能力，突出以图助算、列表分析、精算与估算相结合等计算能力.要想又快又准地答好填空题，除直接推理计算外，还要讲究一此解题策略，尽量避开常规解法。
★ 数学填空题的类型
根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：
一是定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等.由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现.
二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质，如：给定二次曲线的准线方程、焦点坐标、离心率等等.近几年出现了定性型的具有多重选择性的填空题.
★ 解数学填空题的原则
解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求比解答题更高、更严格，《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”.为此在解填空题时要做到：
快——运算要快，力戒小题大作；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，
力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意.
填空题快速解答
（一）数学填空题的解题方法
1、直接法：直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的，称为直接法.它是解填空题的最基本、最常用的方法.使用直接法解填空题，要善于通过现象看本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法.
例1、已知函数 在区间 上为增函数，则实数a的取值范围是 。
解： ，由复合函数的增减性可知， 在 上为增函数，∴ ，∴ 。
例2、现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果：胜、平、负，13场比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等奖的概率为 。
解：由题设，此人猜中某一场的概率为 ，且猜中每场比赛结果的事件为相互独立事件，故某人全部猜中即获得特等奖的概率为 。
2、特殊化法：当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值（或特殊函数，或特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）进行处理，从而得出探求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程
.
例1、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c。若a、b、c成等差数列，则 。
解：特殊化：令 ，则△ABC为直角三角形， ，从而所求值为 。
例2、 求值 。
分析：题目中“求值”二字提供了这样信息：答案为一定值，于是不妨令 ，得结果为 。
例3、如果函数 对任意实数 都有 ，那么 的大小关系是 .
解：由于 ，故知 的对称轴是 .可取特殊函数 ，即可求得 .∴ .
3、数形结合法：对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断，则往往可以简捷地得出正确的结果.数形结合，能使抽象的数学问题转化成直观的图形，使抽象思维和形象思维结合起来．这种思想是近年来高考的热点之一，也是解答数学填空题的一种重要策略．
例1、如果不等式 的解集为A，且 ，那么实数a的取值范围是 。
解：根据不等式解集的几何意义，作函数 和
函数 的图象（如图），从图上容易得出实数a的取
值范围是 。
例2、不等式 >x＋1的解集是 。
解：如图，在同一坐标系中画出函数y＝ 与y＝x＋1的图像，由图中可以直观地得到：－ ≤x<2，所以所求解集是[－ ,2)。
例3、设函数 f(x)＝x3＋ax2＋2bx＋c．若当 x∈（0，1）时，f(x)取得极大值；x∈（1，2）时，f(x)取得极小值，则 的取值范围 ．
解：f´(x)＝ x2＋ax＋2b，令f´(x)＝0，由条件知，上述方程 应满足：一根在（0，1）之间，另一根在（1，2）之间，
∴ ，得 ，在aob坐标系中，作出上述
区域如图所示，而 的几何意义是过两点P(a，b)与 A(1，2)的直线斜率而P(a，b)在区域内，由图易知kPA∈（，1）．
4、等价转化法：通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”将问题等价转化成便于解决的问题，从而得到正确的结果.
例1、 不论k为何实数，直线 与曲线 恒有交点，则实数a的取值范围是 。
解：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆 ，∴ 。
例2、函数 单调递减区间为 。
解：易知 ∵y与y2有相同的单调区间，而 ，∴可得结果为 。
例3、不等式 的解集为 ，则 _______， ________.
解：设 ，则原不等式可转化为： ∴a > 0，且2与 是方程 的两根，由此可得： .
5、构造法：根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助于它认识和解决问题的一种方法.
例1、如图，点P在正方形ABCD所在的平面外，PD⊥ABCD， PD=AD，
则PA与BD所成角的度数为
解：根据题意可将此图补形成一正方体，在正方体中易求得PA与
BD所成角为60°
例2、4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒中，则只有1个空盒
的放法共有 种（用数字作答）
.
解：符合条件的放法是：有一个盒中放2个球，有2个盒中各放1个球.因此可先将球分成3堆（一堆2个，其余2堆各1个，即构造了球的“堆”），然后从4个盒中选出3个盒放3堆球，依分步计算原理，符合条件的放法有 （种）.
（二）数学填空题经典例题剖析、点评
例1、 已知0<t<1， 、 ,则 与 的大小关系为______.
解：该题几乎在各种数学复习参考书中都出现，是一个很典型的问题，但很多书本都是采用不等式的方法，如作差、作商、不等式的性质等。其实作为填空题，它的最好解法是数形结合，作出函数 的简图，再根据图形的特征，容易发现a<b.
点评：本题也可以采取另一种作法，首先看一个不等式的性质： 和 是两个异号的实数，当且仅当 与 同号时 。 ，不论 的值如何， 与 同号，所以 答案：
用数形结合法解填空题，直观，容易懂，不必写出严格的步骤。这两种作法的最大的优点是不用对底数是否比1大讨论。
例2、 底面边长为2的正三棱锥 中，E、F、G、H分别是PA、AC、BC、PB中点，则四边形EFGH的面积取值范围是_________。
解：用特例法，当P点无限远离平面ABC时显然所求四边形的面积 为无穷；而当P点无限接近平面ABC时（如图所示），容易求得面积为 。答案：
点评：当有些动点决定问题的结果时，可以让这些动点的位置
特殊化。
例3、实数 、 满足 则 的最小
值为__________
解：由于这是个轮换对称式，可以大胆地猜想当 时 最小。答案：12
点评：这个题目如果要用严谨方法求解，会显得非常麻烦，解题思路和运算量都是无法预料的。
例4、若函数 的图象关于直线 对称，则
讲解 由已知抛物线的对称轴为 ,得 ，而 ，有 ，
故应填6.
例5、如果函数 ，那么
讲解 容易发现 ，这就是我们找出的有用的规律，于是
原式＝ ，应填
例6、设非零复数 满足 ，则代数式 的值是____________.
讲解 将已知方程变形为 ，解这个一元二次方程，得
显然有 , 而 ,于是
原式＝ ＝ ＝
在上述解法中，“两边同除”的手法达到了集中变量的目的，这是减少变元的一个上策，
值得重视.
例7、以下四个命题：①
②
③ 凸n边形内角和为
④ 凸n边形对角线的条数是
其中满足“假设 时命题成立，则当n=k+1时命题也成立’’.
但不满足“当 （ 是题中给定的n的初始值）时命题成立”的命题序号是 .
① 当n=3时， ，不等式成立；
② 当n=1时， ，但假设n=k时等式成立，则
；
③ ，但假设 成立，则
④ ，假设 成立，则
故应填②③.
例8、某商场开展促销活动，设计一种对奖券，号码从000000到999999. 若号码的奇位数字是不同的奇数，偶位数字均为偶数时，为中奖号码，则中奖面（即中奖号码占全部号码的百分比）为 .
讲解 中奖号码的排列方法是： 奇位数字上排不同的奇数有 种方法，偶位数字上排偶数的方法有 ，从而中奖号码共有 种，于是中奖面为 故应填
例9、若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是（只需写出一个可能的值）．
讲解 本题是一道很好的开放题，解题的开窍点是：每个面的三条棱是怎样构造的，依据“三角形中两边之和大于第三边”，就可否定｛1，1，2｝，从而得出｛1，1，1｝，｛1，2，2｛2，2，2｝三种形态，再由这三类面构造满足题设条件的四面体，最后计算出这三个四面体的体积分别为： , , ，故应填. 、 、 中的一个即可.
例10、一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是 ，在杯内放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的取值范围是___________.
讲解 依抛物线的对称性可知，大圆的圆心在y轴上，并且圆与抛物线切于抛物线的顶点，从而可设大圆的方程为
由 消去x，得
（*）
解出 或
要使（*）式有且只有一个实数根 ，只要且只需要 即
再结合半径 ，故应填
点评：填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现. 因此，我们在备考时，既要把关注这一新动向，又要做好应试的技能准备.
★★复习建议
1. 高考的填空题最容易出现一些所谓的“创新题”，所以应该作些相应的练习；
2. 要作专题复习和限时专题训练；
3 由于高考中填空题处在选择题和解答题中间，往往学生在做完选择题后解答填空题时会有一些浮躁的心理，为了争取有更多的时间做解答题，急于得到答案，会大大降低填空题的解题正确率和速度，所以平时要做相应的心理训练。
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